折射率的微观来源是什么？《张朝阳的物理课》介绍偶极子平面的辐射电场_介质_积分_分析

原标题：折射率的微观来源是什么？《张朝阳的物理课》介绍偶极子平面的辐射电场

为什么日出时刻真实的太阳位置是处在地平线之下？为什么光进入水里会被折射？折射率的微观起源是什么？10月14日12时，《张朝阳的物理课》第九十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，根据光在不同透明介质里的传播速度差异，通过分析光波波前得到了光的折射定律，然后借助由偶极子组成的整个平面为模型求出了偶极子平面在入射平面电磁波的影响下的辐射电场，并以此为基础求出了折射率的表达式。

光在不同透明介质中的速度一般不同 光速差异导致折射发生

课程一开始，张朝阳就介绍了不同透明介质下的光速v一般是不一样的，因此一般不等于真空中的光速，这时候就有v=c/n，这里的n就被称为折射率。正因为光速的差异，才有了光在不同介质表面的折射。

可以证明，波的等相位面是与波的传播方向垂直的，因此可以通过分析折射波的等相位面得到折射波的传播方向。

下图是张朝阳在直播课上用于分析折射波传播方向的简图，中间的竖直线表示介质表面，光从左下角入射，θ1表示入射光的入射角，θ2表示折射光的折射角。为了让符号一目了然，张朝阳对其他符号的下标都做了类似的区分：下标1表示介质表面左边相关的量，下标2表示介质右边相关的量。

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上图中还标出了入射光与出射光的等相位面(线)AC与BD，Δt1是A点的波传播到B点所花的时间，Δt2是C点的波传播到D点所花的时间。容易知道Δt1=Δt2。又因为：

所以：

这就是一般的折射定律。

对于从真空入射的情况n1=1，n=n2一般是大于1的，因此有：

张朝阳介绍说，从这个结果可以得到很多有趣的结论，比如，岸边的人看到的水底物体的位置是要比水底物体的真实位置要高的，这是因为水底物体发出的光受到了水面的折射，从而影响了人对物体位置的判断。同样，由于大气会折射太阳光，通过分析太阳光的光路可以知道，日出时刻，太阳的实际位置是低于人们看到的太阳位置的，甚至在刚日出的时候，太阳实际上还处于地平线之下。

张朝阳推导光的折射定律

分析偶极子平面的电场 作图近似求解积分结果

从张朝阳的介绍可以知道，光的折射来源于光在不同透明介质下的速度差异，那为什么速度会不一样呢？产生速度差异的微观原因是什么？为了解决这个问题，张朝阳将介质中的原子、分子看成一个个偶极子，然后分析偶极子的辐射来求出折射光。

为了简单起见，他假设平面电磁波是垂直入射的，透明介质厚度为Δz，这里仅考虑介质层很薄的情况，因此可以近似当成介质平面来看待。建立直角坐标系使得xy平面为介质平面。同时，在介质平面上建立极坐标系，设介质中的电子数密度为N，带电量为q，那么介质平面中电子对应的电荷面密度为σ=NqΔz，电荷微元可以写为dq=σdS=σrdrdΦ。进一步假设入射电磁波的电场分量沿着x轴，那么电偶极子中的电子将只沿着x方向振动，它的运动方程为：

其中x’表示电子的x坐标偏移，不同电子的偏移是不一样的。从这个式子可以得到：

根据以前直播课程的结果，单个电偶极子的辐射电场为：

将这个结果用在偶极子平面模型上需要对整个平面进行积分。下图是张朝阳分析积分时所用的示意图。

如果固定积分中的r，先积一整个圆的话，根据对称性容易知道电场在y、z方向的分量都会互相抵消。因此，整个偶极子平面的辐射电场只有x分量非零。

根据球坐标基矢的定义容易知道基矢e_θ在x轴的投影为sinθ，方向与x轴方向相反，因此有：

其中已经用Ed表示电场的x分量。将积分微元与加速度公式代入，并对整个平面进行积分，有：

根据立体几何的知识，有：

于是：

将这个结果代入Ed的式子，并将ω/c记为k，可以得到：

又因为：

将对r的积分变换为对R的积分，可得：

最后的结果中，第一个积分式是发散的，因此需要特殊处理，第二个积分具有良好的定义，但是直接求解存在困难，需要近似处理。

首先处理第一个积分。张朝阳参考了费曼物理学讲义中的处理方法。首先，这个积分可以改写为：

由于每个Δθ*e^{-iθ}本质上都是复平面上的一个长度为Δθ的矢量，矢量的角度为(-θ)，因此上式本质上是无穷个矢量的叠加。通过作图可以知道，通过依次叠加得到的位矢的轨迹构成圆形。参考下图，图中显示了最开始几段矢量的叠加结果。

如果不考虑其他情况，那么整个积分中的“求和”就是不断绕着这个圆在转圈，因此这个积分是求不出具体的值的。这个圆的半径是多大呢？因为单个矢量可以近似为一段圆弧，圆弧长度为Δθ，它对应的圆心角也为Δθ，因此这个圆的半径是1。

这里的积分是对整个平面进行的，实际物理中不可能存在无穷大的介质平面，因此实际上R的积分上限不会是正无穷大。从物理直观来说，入射光束的截面积不可能是无穷大，总是有限大小，越靠近光束边缘电场越小，于是距离光束中心越远的偶极子贡献的辐射就越小。

为此，可以假设远处的偶极子的电场存在一个压低，从而使得当R变大时，用于叠加的矢量的长度是递减的。由于角度间隔不变，这就导致叠加后的矢量螺旋式地逼近圆心。因此，整个级数的值正好是圆心对应的矢量，这个矢量为：

所以：

对第二个积分也可以使用类似方法进行近似。首先有：

上式最后一行的级数也是一系列矢量的叠加。而且，由于分母θ^2的存在，叠加的矢量是会螺旋地趋向于一个固定值。可以证明，当θ_0足够大时，这个级数的值约等于前面介绍的圆心所对应的值。因此：

综合这两个积分结果可以得到：

根据电子在电磁波作用下的受迫振动结果，有：

其中Em是入射电磁波的电场振幅。电荷面密度为σ=NqΔz，那么Ed可以改写为：

张朝阳推导偶极子平面的辐射电场

分析“薄介质”导致的光速差异 推导得到折射率公式

求出偶极子平面的辐射电场后，张朝阳开始回到求折射率的目的本身。如果设α为：

那么Ed可以表示为：

其中E0为：

它是入射电磁波在此位置所产生的电场。

在介质后面位置上，总电场为入射电磁波的电场与偶极子辐射电场的叠加，于是总电场可以写为：

可见总电场的相位与入射电磁波的相位是不同的。由于介质厚度为Δz，因此电磁波经过介质后在长为(z-Δz)的路径上是不受介质影响的，电磁波的波数依然是k，于是可以知道这部分路径贡献了相位e^{-ik(z-Δz)}。于是，剩下的相位e^{-i(k+α)Δz}可以看作是来自于光在介质中的传播，此时的波数为k+α。根据波数的定义，可以知道光在介质中的速度为：

由于v=c/n，所以此介质的折射率为：

将α的表达式代入可得：

从这个结果可以发现，折射率其实是与电磁波的频率有关的，这种依赖关系有时候会被称作色散关系。正是因为折射率与频率有关，在入射角一致的情况下，不同颜色的光的折射角会不一样，因此白色光才能在经过三棱镜后被“分散”成各种颜色的光，这也是“色散关系”这一名称的由来。在一般情况，ω0是大于可见光频率的，因此大部分透明介质的折射率都是大于1的，而且频率越高的光折射率也越大。

同时，张朝阳强调说，这个结果没有考虑介质产生的电磁场对介质的影响，因此它只适用于稀薄的气体。不过关于折射率与电磁波频率的依赖趋势，基于这个公式的讨论都是正确的。

张朝阳推导得到折射率公式

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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